题目内容

关于x的三次函数y=f（x）的两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线 $数学公式$ 上，则曲线y=f（x）的切线斜率的最大值的最小值为________．

$\text{[math]}$
分析：可以设f（x）=ax³+bx²+cx+d，根据已知条件减少未知量，对其进行求导转化为求f′（x）最大值的表达式，可以利用三角代换，求出a，b关于θ的表达式，再进行代入求得其最小值；
解答：设f（x）=ax³+bx²+cx+d，依题意可得，f（0）=0且f′（0）=0，
∴c=d=0，故f（x）=ax³+bx²，
∴f′（x）=3ax²+2bx，由y=1+ $\text{[math]}$ 及点Q在上面，
可设Q（1+cosθ，1+sinθ），θ∈[0，π]，由Q为一个极值点，
得 $\text{[math]}$ ，
显然cosθ≠1，θ≠π，
∴1+cosθ=- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∵a＜0，
∴f′（x）=3ax²+2bx存在最大值：f′（ $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
利用数形结合可求得： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×K_OQ，
求出直线OQ斜率的最小值即可：可知Q点在（2，1）处斜率最小：K_OQ= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ×K_OQ= $\text{[math]}$ ，
曲线y=f（x）的切线斜率的最大值的最小值为 $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ；
点评：此题考查了利用导数研究函数的最值问题，比较难想到的是利用三角代换求出函数f′（x）的最大值表达式，此题计算量比较大，考查了学生的计算能力；

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