题目内容

已知直线.若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出四条曲线方程:①;②;③;④;则其中直线的“绝对曲线”有          (        )

A.①④    B.②③    C.②④    D.②③④

 

【答案】

D

【解析】

试题分析:由题意直线表示斜率为且过定点(1,1)的直线.(1)曲线①是由左右两支射线构成:时,是斜率为2且过点(1,0)的射线;时,是斜率为-2且过点(1,0)的射线.作图可知:当,直线仅与曲线①右支射线有一个交点;当时,直线与曲线①无交点;当时,直线仅与曲线①左支射线有一个交点.所以直线与曲线①最多只有一个交点,不符题意,故曲线①不是直线的“绝对曲线”.(2)因为定点(1,1)在曲线②上,所以直线与曲线②恒有交点,设曲线②与直线的两交点为,易知 ,联立直线与曲线②方程,化简得:.

.,从而可知当且仅当时直线与曲线②仅一个交点.两边平方,化简得:.设,则,且是连续函数,所以在(0,2)上有零点,即方程在(0,2)上有根,且在(0,2)上曲线②与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线②与直线两个不同交点为端点的线段长度恰好等于,故曲线②是直线的“绝对曲线”.(3)曲线③表示圆心在(1,1)且半径为1的圆,它与直线两个交点为端点的线段长度恒为2,为2或-2时满足题意,故曲线③是直线的“绝对曲线”.(4)因为定点(1,1)在曲线④上,所以直线与曲线④恒有交点,设曲线④与直线的两交点为,易知 ,联立直线与曲线④方程,化简得:,

,,从而可知当且仅当时直线与曲线④仅一个交点.两边平方,化简得:.,,且是连续函数,所以上有零点,即方程上有根,且在上曲线④与直线有两个不同的交点.故存在实数使得曲线④与直线两个交点为端点的线段长度恰好等于,故曲线④是直线的“绝对曲线”.

考点:曲线与直线的方程、函数的零点

 

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