题目内容

6.甲箱子里装有3个白球m个黑球,乙箱子里装有m个白球,2个黑球,在一次试验中,分别从这两个箱子里摸出一个球,若它们都是白球,则获奖
(1)当获奖概率最大时,求m的值;
(2)在(1)的条件下,班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数,班长有4次摸奖机会(有放回摸取),当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数,如4次均未中奖,则ξ=0,求ξ的分布列和Eξ.

分析 (1)利用相互独立事件概率乘法公式能求出获奖概率,由此能求出获奖概率最大时,m的值.
(2)由已知得ξ的取值为0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望.

解答 解:(1)∵甲箱子里装有3个白球m个黑球,乙箱子里装有m个白球,2个黑球,
在一次试验中,分别从这两个箱子里摸出一个球,若它们都是白球,则获奖,
∴获奖概率$p=\frac{3}{m+3}•\frac{m}{m+2}=\frac{3}{{m+\frac{6}{m}+5}},m=2$或3时,${P_{max}}=\frac{3}{10}$.(4分)
(2)由已知得ξ的取值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=(1-$\frac{3}{10}$)4=$\frac{2401}{10000}$,
P(ξ=1)=$\frac{3}{10}$,
P(ξ=2)=$\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{100}$,
P(ξ=3)=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{147}{1000}$,
P(ξ=4)=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{1029}{10000}$,
∴ξ的分布列为:

ξ12340
P$\frac{3}{10}$$\frac{21}{100}$$\frac{147}{1000}$$\frac{1029}{10000}$$\frac{2401}{10000}$
$Eξ=\frac{3000+2100×2+1470×3+1029×4}{10000}=\frac{15726}{10000}=1.5726$.(12分)

点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.

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