题目内容

已知直线y=x-1与双曲线交于两点M，N 线段MN的中点横坐标为- $数学公式$ 双曲线焦点c为 $数学公式$ ，则双曲线方程为________．

$\text{[math]}$ =1
分析：先设出曲线的方程，和M，N的坐标，分别代入直线方程相减求得y₁-y₂=x₁-x₂，利用MN中点的横坐标求得x₁+x₂，利用直线方程求得y₁+y₂，把M，N代入双曲线方程相减求得a和b的关系，进而利用c求得a和b，则双曲线的方程可得．
解答：设双曲线 $\text{[math]}$ =1，M，N （x₁，y₁）（x₂，y₂）
则y₁=x₁-1，y₂=x₂-1，两式相减求得y₁-y₂=x₁-x₂，
$\text{[math]}$ =1， $\text{[math]}$ =1
两式相减得：
$\text{[math]}$ =0
又因为x₁+x₂=- $\text{[math]}$
y₁+y₂=x₁+x₂-2=- $\text{[math]}$
∵y₁-y₂=x₁-x₂
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵c= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
求得a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$ =1
故答案为： $\text{[math]}$ =1
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．

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