题目内容

设n为自然数,a、b为正实数,且满足a+b=2,则
1
1+an
+
1
1+bn
的最小值为(  )
分析:将所求式变形,再利用基本不等式,即可求得最小值.
解答:解:
1
1+an
+
1
1+bn
=
an+bn+2
(1+an)(1+bn)
=1-
(ab)n-1
(1+an)(1+bn)

要使
1
1+an
+
1
1+bn
取得最小值,则
(ab)n-1
(1+an)(1+bn)
取得最大值
∵a、b为正实数,a+b=2,a+b≥2
ab
,∴0<ab≤1
∵n为自然数,∴(ab)n-1≤1-1=0
当且仅当(ab)n=1时,(ab)n-1取得最大值0
∴a=b=1时,原式有最小值1.
故选C.
点评:本题考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
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