Question

设f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)
的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.
①求实数a，b的值；②求函数f(x)的极值．

Answer 1

①a＝3，b＝－12②－6

①∵f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1，
∴f′(x)＝6x²＋2ax＋b.
由题意知，－＝－且6×1²＋2a×1＋b＝0，
∴a＝3，b＝－12.
②由①知，f(x)＝2x³＋3x²－12x＋1.
∴f′(x)＝6x²＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－2.
由f′(x)>0，得x>1或x<－2，由f′(x)<0，得－2<x<1.
∴f(x)在(－∞，－2)上递增，(－2,1)上递减，(1，＋∞)上递增．
∴当x＝－2时，f(x)取得极大值f(－2)＝21，当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝－6