Question

已知数列{d_n}满足d_n=n，等比数列{a_n}为递增数列，且a₅²=a₁₀，2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令c_n=1-（-1）ⁿa_n，不等式c_k≥2014（1≤k≤100，k∈N^*）的解集为M，求所有d_k+a_k（k∈M）的和．

Answer 1

分析：（I）设{a_n}的首项为a₁，公比为q，利用等比数列的通项公式及a₅²=a₁₀，即可解得q与a₁的关系，再利用2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．即可解得q．
（II）由（I）可得：cn=1-(-1)nan=1-(-2)n，d_n=n．当n为偶数，不成立．当n为奇数，cn=1+2n≥2014，即2ⁿ≥2013，可得：n=2m+1，5≤m≤49．可知：{d_k}组成首项为11，公差为2的等差数列；数列{a_k}（k∈M）组成首项为2¹¹，公比为4的等比数列．利用其前n项和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的首项为a₁，公比为q≠0，
∵a₅²=a₁₀，
∴(a1q4)2=a1q9，解得a₁=q．
又∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，
∴2(an+anq2)=5anq，
∵a_n≠0，
∴2（1+q²）=5q，2q²-5q+2=0，解得q=

1

2

（舍）或q=2．
∴an=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）由（I）可得：cn=1-(-1)nan=1-(-2)n，d_n=n．
当n为偶数，cn=1-2n≥2014，即2ⁿ≤-2013，不成立
当n为奇数，cn=1+2n≥2014，即2ⁿ≥2013，
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴n=2m+1，5≤m≤49．
则{d_k}组成首项为11，公差为2的等差数列；
数列{a_k}（k∈M）组成首项为2¹¹，公比为4的等比数列．
则所有d_k+a_k（k∈M）的和为

45(11+99)

2

+

211(1-445)

1-4

=2475+

2101-2048

3

=

2101+5377

3

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．