题目内容
7、如果f（x）是定义在R的增函数，且F（x）=（x）-f（-x），那么F（x）一定是（ ）
分析：先根据函数单调性的定义判断函数的单调性，再直接用-x代入计算，比较F（x）与F（-x），根据奇偶性的定义作出是奇函数判断即可．
解答：解：∵f（x）是定义在R的增函数
∴f（-x）是定义在R的减函数，从而-f（-x）是定义在R的增函数，
∴F（x）=（x）-f（-x）是定义在R的增函数，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
F（x）=-F（-x）
∴函数F（x）为奇函数
故选A
∴f（-x）是定义在R的减函数，从而-f（-x）是定义在R的增函数，
∴F（x）=（x）-f（-x）是定义在R的增函数，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
F（x）=-F（-x）
∴函数F（x）为奇函数
故选A
点评：本题考查函数奇偶性的定义、函数单调性的判断与证明，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如果f（x）是定义在R上的奇函数，它在[0，+∞）上有f′（x）＜0，那么下述式子中正确的是（ ）
A、f（
| ||
B、f（
| ||
C、f（
| ||
| D、以上关系均不确定 |
如果f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，且当0≤x＜3时，f（x）的图象如图所示．则不等式f（x）•cosx＜0的解是如果f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ）
A、f(-
| ||
B、f(-
| ||
C、f(-
| ||
| D、以上关系均不确定 |