Question

6．设数列{a_n}的前项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{S_n}{n}+2（n-1），（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）是否存在正整数n使得$\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}$+…+$\frac{S_n}{n}-{（n-1）^2}$=2015成立？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件求出S_n=na_n-2（n-1）n，利用a_n=S_n-S_n-1，推出a_n-a_n-1=4，判断{a_n}为等差数列，求解通项公式．
（II）利用第一问以及已知条件推出$\frac{{S}_{n}}{n}=2n-1$，求出数列的和，然后求解方程判断即可．

解答 解：（I）数列{a_n}的前项和为S_n，a₁=1，a_n=$\frac{S_n}{n}+2（n-1），（n∈{N^*}）$．
所以S_n=na_n-2（n-1）n，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-2（n-1）n-（n-1）a_n-1+2（n-2）（n-1）
可得a_n-a_n-1=4
所以{a_n}为a₁=1，d=4的等差数列
所以a_n=1+（n-1）4=4n-3…（6分）
（II）∵a_n=4n-3，
∴${S_n}=n{a_n}-2n（n-1）=（2n-1）n⇒\frac{S_n}{n}=2n-1$
$⇒\frac{S_1}{1}+\frac{S_2}{2}+…+\frac{S_n}{n}=\frac{1+（2n-1）}{2}n={n^2}$
⇒n²-（n-1）²=2015
⇒n=1008存在   …（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．