Question

（2012•湖南模拟）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a_n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b_n}．可以推测：
（Ⅰ）b₃是数列{a_n}中的第

9

项；
（Ⅱ）b_2k=

5k(5k+1)

2

（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出a_n+1=a_n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a_n}的通项，由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可得结论；
（II）由于2k是偶数，由（I）知，第2k个被5整除的数出现在第k组倒数第一个，故它是数列{a_n}中的第k×5=5k项，由此可得结论．

解答：解：（I）由题设条件可以归纳出a_n+1=a_n+（n+1），
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n+（n-1）+…+2+1=

1

2

n（n+1）
由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知，第3个可被5整除的数为45，是数列{a_n}中的第9项；
（II）由于2k是偶数，由（I）知，第2k个被5整除的数出现在第k组倒数第一个，故它是数列{a_n}中的第k×5=5k项，
所以b_2k=

5k(5k+1)

2

故答案为：9，

5k(5k+1)

2

．

点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数．