Question

【题目】已知⊙M过点，且与⊙N：内切，设⊙M的圆心M的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程：

（2）设直线l不经过点且与曲线C相交于P，Q两点．若直线PB与直线QB的斜率之积为，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直线l过定点

【解析】

（1）由两圆相内切的条件和椭圆的定义，可得曲线C的轨迹方程；

（2）设直线BP的斜率为，则BP的方程为，联立椭圆方程，解得交点P，同理可得Q的坐标，考虑P，Q的关系，运用对称性可得定点．

解：（1）设⊙M的半径为R，因为圆M过，且与圆N相切

所以，即，

由，所以M的轨迹为以N，A为焦点的椭圆．

设椭圆的方程为1（a＞b＞0），则2a＝4，且c，

所以a＝2，b＝1，所以曲线C的方程为y2＝1；

（2）由题意可得直线BP，BQ的斜率均存在且不为0，

设直线BP的斜率为，则BP的方程为y＝kx+1，联立椭圆方程，

可得，解得

则，

因为直线BQ的斜率为，

所以同理可得，

因为P，Q关于原点对称，（或求得直线l的方程为）

所以直线l过定点