Question

16．已知{a_n}是等比数列，且a₁=2，a₅=16，则a₁a₂+a₂a₃+…a_na_n-1 =$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}是 首项a₁=1，公比q=2 的等比数列，求出通项公式，可得数列{a_na_n+1 }是公比为4的等比数列，利用等比数列的前n项和公式 求出a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1的值．

解答 解：由数列{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=16，可得 公比q=2，首项a₁=1，
∴a_n=2^n-1，a_n+1=2ⁿ，∴a_na_n+1 =2^2n-1，∴a₁a₂=2，
故数列{a_na_n+1 }是公比为4的等比数列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1 =$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
故答案为：$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，判断数列{a_na_n+1 }是公比为4的等比数列，是解题的关键．