Question

若矩阵A有特征向量i=（

1 0

）和j=（

0 1

），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（

x y

），求（（A^-1）²⁰α．

Answer 1

分析：（1）设矩阵M=

a b c d

则根据矩阵A的属于λ₁=2的特征向量，矩阵A的属于λ₂=-1的特征向量，则结合特征向量的定义，由此能够求出矩阵A及其逆矩阵．
（2）根据矩阵A^-1的特征多项式求出矩阵A^-1的特征值，
（3）由于α=x

1   0

+y

0   1

，故（（A^-1）²⁰α=x

λ

20 1

1   0

+y

λ

20 2

0   1

，求出值即可．

解答：解：（1）解：设矩阵M=

a b c d

，这里a，b，c，d∈R，
则

a b c d

1   0

=2

1   0

，

a b c d

0   1

=-

0   1

，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=

2 0 0 -1

，A^-1=

1 2 0 0 -1

（2）A^-1特征多项式f（λ）=

λ- 1 2 0 0 -1

=（λ-

1

2

）（λ+1）=0，得λ=

1

2

，或λ=-1，
当λ=

1

2

时，对应的特征向量为

1   0

；当λ=-1时，对应的特征向量为

0   1

；
（3）由α=x

1   0

+y

0   1

，
∴（（A^-1）²⁰α=x

λ

20 1

1   0

+y

λ

20 2

0   1

=

x 220   y

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用，考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．