题目内容

若矩阵A有特征向量i=（
 10
）和j=（
 01
），且它们所对应的特征值分别为λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A-1；
（2）求逆矩阵A-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（
 xy
），求（（A-1）20α．
（1）设矩阵M=
ab
cd
，这里a，b，c，d∈R，
则
ab
cd
1 
0 
=2
1 
0 
，
ab
cd
0 
1 
=-
0 
1 
，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=
20
0-1
，A-1=
1
2
0
0-1

（2）A-1特征多项式f（λ）=
λ-
1
2
0
0-1
=（λ-
1
2
）（λ+1）=0，得λ=
1
2
，或λ=-1，
当λ=
1
2
时，对应的特征向量为
1 
0 
；当λ=-1时，对应的特征向量为
0 
1 
；
（3）由α=x
1 
0 
+y
0 
1 
，
∴（（A-1）20α=x
λ201
1 
0 
+y
λ202
0 
1 
=
x
220
 
y 
．
练习册系列答案
相关题目
（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数），C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定义域为R，求实数m的取值范围．
若矩阵A有特征向量i=（
 
1
0
）和j=（
 
0
1
），且它们所对应的特征值分别为λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A-1；
（2）求逆矩阵A-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（
 
x
y
），求（（A-1）20α．
（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为为参数），C2的参数方程为为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定义域为R，求实数m的取值范围．
若矩阵A有特征向量i=（）和j=（），且它们所对应的特征值分别为λ1=2，λ2=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A-1；
（2）求逆矩阵A-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（），求（（A-1）20α．

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