Question

19．已知函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）
（1）证明：函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定义域R上为增函数；
（2）若函数g（x）=f（x）+2^x-2^-x满足g（3a-1）+g（a-3）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先根据函数奇偶性的定义，可得函数f（x）为奇函数，再根据函数单调性的性质，和函数奇偶性的性质，可得函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定义域R上为增函数；
（2）令函数h（x）=2^x-2^-x，可得函数h（x）也为奇函数，且在R上为增函数，进而可得g（x）为奇函数，且在R上为增函数，进而转化不不等式g（3a-1）+g（a-3）＞0为整式不等式，可得结论．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$），
∴f（-x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}-x$）=ln$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$=-ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，
当x≥0时，t=$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$为增函数，y=lnt为增函数，
故函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）也为增函数，
再由奇函数在对称区间上单调性一致，
可得当x≤0时，函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）也为增函数，
综上可得：函数f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$）在定义域R上为增函数；
（2）令函数h（x）=2^x-2^-x，
则h（-x）=2^-x-2^x=-（2^x-2^-x）=-h（x），
故函数h（x）也为奇函数，
当x≥0时，t=2^x为增函数，s=2^-x为减函数，
故h（x）=2^x-2^-x为增函数，
再由奇函数在对称区间上单调性一致，
可得当x≤0时，函数h（x）=2^x-2^-x也为增函数，
又由函数g（x）=f（x）+2^x-2^-x，
故函数g（x）为奇函数，且在R上为增函数，
若g（3a-1）+g（a-3）＞0，
则g（3a-1）＞-g（a-3），
即g（3a-1）＞g（3-a），
即3a-1＞3-a，
解得：a＞1

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判定与证明，对数函数的图象和性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．