题目内容

【题目】已知函数f(x)= ,直线y= x(a≠0)为曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求实数a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函数h(x)=g(x)﹣bx2为增函数,求实数b的取值范围.

【答案】
(1)解:设切点坐标为(x0,y0),f′(x)= ,则 ,∴a=1;
(2)解:记F(x)=f(x)﹣(x﹣ ),x>0.下面考察y=F(x)的符号.

求导F′(x)= ﹣1﹣

x≥2,F′(x)<0,0<x<2,x(2﹣x)≤1,∴F′(x)= ﹣1﹣ ≤﹣ <0,

∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,

∵F(1)= >0,F(2)= <0,

∴F(x)在[1,2]上有唯一零点x0

∴g(x)=

∴h(x)=g(x)﹣bx2=

x>x0,h′(x)= ﹣2bx≥0恒成立,∴2b≤

设u(x)= ,u′(x)= ,函数在(x0,3)上单调递减,(3,+∞)上单调递增,

∴u(x)min=﹣ ,∴2b≤﹣ ,∴b≤﹣

0<x≤x0时,h′(x)=1+ ﹣2bx,b≤0,h′(x)>0在(0,x0)上恒成立,

综上所述,b≤﹣ 时,函数h(x)=g(x)﹣bx2为增函数.


【解析】(1)根据直线y= x(a≠0)为曲线y=f(x)的一条切线,求实数a的值;(2)记F(x)=f(x)﹣(x﹣ ),x>0.考察y=F(x)的符号,得出g(x)= ,再分类讨论,利用导数的正负,即可得出结论.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.

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