题目内容
【题目】已知函数f(x)= ,直线y=
x(a≠0)为曲线y=f(x)的一条切线.
(1)求实数a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函数h(x)=g(x)﹣bx2为增函数,求实数b的取值范围.
【答案】
(1)解:设切点坐标为(x0,y0),f′(x)= ,则
,∴a=1;
(2)解:记F(x)=f(x)﹣(x﹣ ),x>0.下面考察y=F(x)的符号.
求导F′(x)= ﹣1﹣
,
x≥2,F′(x)<0,0<x<2,x(2﹣x)≤1,∴F′(x)= ﹣1﹣
≤﹣
<0,
∴F(x)在(0,+∞)上单调递减,
∵F(1)= >0,F(2)=
﹣
<0,
∴F(x)在[1,2]上有唯一零点x0,
∴g(x)= ,
∴h(x)=g(x)﹣bx2= ,
x>x0,h′(x)= ﹣2bx≥0恒成立,∴2b≤
,
设u(x)= ,u′(x)=
,函数在(x0,3)上单调递减,(3,+∞)上单调递增,
∴u(x)min=﹣ ,∴2b≤﹣
,∴b≤﹣
;
0<x≤x0时,h′(x)=1+ ﹣2bx,b≤0,h′(x)>0在(0,x0)上恒成立,
综上所述,b≤﹣ 时,函数h(x)=g(x)﹣bx2为增函数.
【解析】(1)根据直线y= x(a≠0)为曲线y=f(x)的一条切线,求实数a的值;(2)记F(x)=f(x)﹣(x﹣
),x>0.考察y=F(x)的符号,得出g(x)=
,再分类讨论,利用导数的正负,即可得出结论.
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本,需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减.
