Question

（2012•湖南模拟）设向量

a

=(a1，a2)，

b

=(b1，b2)，定义一种向量积

a

?

b

=(a1b1，a2b2)，已知

m

=(2，

1

2

)，

n

=(

π

3

，0)，点P（x，y）在y=sinx的图象上运动．Q是函数y=f（x）图象上的点，且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中O为坐标原点），函数y=f（x）的值域是

[-

1

2

，

1

2

]

．

Answer 1

分析：先设出点P、Q的坐标，根据

OQ

=

m

?

OP

+

n

，得到P、Q的坐标之间的关系，从而写出函数f（x）的解析式，得到答案．

解答：解：设P（x₀，y₀），Q（x，f（x）），则由已知得（x，f（x））=（2x₀+

π

3

，

1

2

y0），
即x=2x₀+

π

3

，∴x₀=

1

2

x-

π

6

，f（x）=

1

2

y₀ ，∴y₀=2f（x）．
又y₀=sinx₀，∴2f（x）=sin（

1

2

x-

π

6

），故f（x）=

1

2

sin（

1

2

x-

π

6

）．
∴（f（x））_max=

1

2

，（f（x））_min=-

1

2

，
故函数y=f（x）的值域是 [-

1

2

，

1

2

]，
故答案为 [-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题主要考查三角函数的最值和最小正周期的求法．这个题要先从条件中抽象出函数的解析式来，再解题，属于中档题．