Question

 已知二次函数y=f（x）在x= 处取得最小值- （t﹥0），f（1）=0， （1）求y=f（x）的表达式；（2）若任意实数x都满足等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹ （g（x）为多项式，n∈N⁺）试用t表示a_n和b_n；（3）设圆C_n的方程为（x-a_n）²+（y-b_n）²=r ，圆C_n与C_n+1 外切（n=1，2，3…），｛r_n｝是各项都为正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n，s_n。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）设f（x）=a（x-）²-，因为f（1）=0，所以a（1-）²-=0，得a=1，

       ∴f（x）=x²-（t+2）x+t+1

           （2） f（x）=（x-1）[x-（t+1）]，代入已知等式得

（x-1）[x-（t+1）]g（x）+ a_nx+b_n=xⁿ⁺¹

将x=1，x=t+1代入上式得  a_n+b_n=1

                         （t+1）a_n+b_n=（t+1）ⁿ⁺¹

由t≠0可得 a_n= [（t+1）ⁿ⁺¹-1]，b_n=[1-（t+1）ⁿ]

（3）因为a_n+b_n=1，所以圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上，

∴︱O_nO_n+1︱=︱a_n+1-a_n︱=(t+1)ⁿ

又∵C_n与C_n+1外切，∴r_n+r_n+1=(t+1)ⁿ

设｛r_n｝的公比为q，则  r_n+q r_n=(t+1)ⁿ①

r_n+1+q r_n+1=(t+1)ⁿ⁺¹②

②÷①

得q=t+1，由①知r₁=

∴r_n= r₁q^n-1=

∴S_n=（r₁²+r₂²+…r_n²）=

    =