题目内容
用数学归纳法证明(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2n-1)(2n)2-2n(2n+1)2］=-n(n+1)(4n+3)(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=1×22-2×32=-14,右边=-1×2×7=-14,等式成立.?
(2)假设当n=k时等式成立,即
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］=-k(k+1)(4k+3),则当n=k+1时,
(1×22-2×32)+(3×42-4×52)+…+［(2k-1)(2k)2-2k(2k+1)2］+［(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2］
=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)［(4k2+12k+9)-(4k2+6k+2)］?
=-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(6k+7)
=-(k+1)(4k2+15k+14)?
=-(k+1)(k+2)(4k+7)?
=-(k+1)［(k+1)+1］［4(k+1)+3］.?
这说明当n=k+1时,等式也成立.?
由(1),(2)可知等式对n∈N*都成立.
温馨提示
用数学归纳法证明恒等式,关键是在证明n=k+1时命题成立.从n=k+1时的待证恒等式的一端“拼凑”出归纳假设恒等式的一端，再运用归纳假设即可.
练习册系列答案
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用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=
，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
| n4+n2 |
| 2 |
| A、k2+1 | ||
| B、（k+1）2 | ||
C、
| ||
| D、（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2 |
用数学归纳法证明1+
+
+…+
＜n（n∈N+，n＞1）时，第一步应验证不等式（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
A、1+
| ||||||
B、1+
| ||||||
C、1+
| ||||||
D、1+
|