题目内容
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项.
(1)求a1的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
+(-1)n-1×2n+1λ,若数列{bn}是单调递增数列,求实数λ的取值范围.
(1)求a1的值及数列{an}的通项公式;
(2)设bn=
2 | 1+an |
分析:(1)由an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项列出递推式,取n=1求出a1,取n=n-1得到另一递推式,作差后整理得到(an+an-1)(an-an-1-2)=0,再由数列是正项数列得到an-an-1=2,然后直接写出等差数列的通项公式;
(2)把(1)中求出的通项公式代入bn=
+(-1)n-1×2n+1λ,根据数列{bn}是单调递增数列得到bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1=3×4n-3λ×(-1)n-1×2n+1>0恒成立.分n为偶数和奇数讨论后求出λ的取值范围.
(2)把(1)中求出的通项公式代入bn=
2 | 1+an |
解答:解:(1)由已知得,
=
,4Sn=an2+2an+1.
当n=1时,求得a1=1
当n≥2时,4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
因为{an}的各项均为正数,所以an-an-1=2,
又a1=1,所以an=2n-1;
(2)由(1)得,bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1,
又数列{bn}是单调递增数列,所以bn<bn+1恒成立,
从而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4n-3λ×(-1)n-1×2n+1>0恒成立.
①当n是奇数时,得λ<2n-1恒成立,2n-1的最小值为1,λ<1
②当n是偶数时,得λ>-2n-1恒成立,-2n-1最大值为-2,λ>-2.
综上得:-2<λ<1.
an+1 |
2 |
Sn |
当n=1时,求得a1=1
当n≥2时,4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,
因为{an}的各项均为正数,所以an-an-1=2,
又a1=1,所以an=2n-1;
(2)由(1)得,bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1,
又数列{bn}是单调递增数列,所以bn<bn+1恒成立,
从而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4n-3λ×(-1)n-1×2n+1>0恒成立.
①当n是奇数时,得λ<2n-1恒成立,2n-1的最小值为1,λ<1
②当n是偶数时,得λ>-2n-1恒成立,-2n-1最大值为-2,λ>-2.
综上得:-2<λ<1.
点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了数列的函数特性,考查了分类讨论得数学思想方法,是中档题.

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