题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(1)证明:BD⊥PC;
(2)若AD=4,BC=2,设AC∩BD=O,且∠PDO=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】(1)见解析;(2)12
【解析】
(1)可证平面
,从而得到
.
(2)连结,根据
可得
,再根据
均为等腰直角三角形得到梯形
的高和
的长度,从而得到
的长度后可利用体积公式计算四棱锥的体积.
证明:(1)因为平面
,
平面
,
所以.
又,
是平面
内的两条相交直线,
所以平面
.
而平面
,所以
.
(2)连结,由(1)知,
平面
,
平面
知,
.在
中,
因为,所以
,得
.
又因为四边形为等腰梯形,
,
所以均为等腰直角三角形.
从而梯形的高为
,
于是梯形面积
.
在等腰直角三角形中,
,
所以,
.
故四棱锥的体积为
.
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