Question

18．有以下四个命题：
①函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）的一个增区间是$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}]$；
②若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）为奇函数，则φ为π的整数倍；
③对于函数f（x）=tan （2x+$\frac{π}{3}$），若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂必是π的整数倍；
④函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于点$（\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，0）$对称．
其中正确的命题是②④（填上正确命题的序号）

Answer 1

分析 首先，结合三角函数的单调性和单调区间进行求解．

解答 解：对于①f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）=-sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{5π}{6}$+2kπ≤2x≤$\frac{11π}{6}$+2kπ，
∴$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11π}{12}$+kπ，
∴函数f（x）增区间：[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11π}{12}$+kπ]，k∈Z，
∴①错误；
对于②函数f（x）=sin（ωx+φ），（ω＞0）为奇函数，
∴φ=kπ，k∈Z，
∴φ为π的整数倍，
故②正确；
对于③函数f（x）=tan （2x+$\frac{π}{3}$），
该函数周期为T=π，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴x₁-x₂必是$\frac{π}{2}$的整数倍，
∴③错误；
对于④函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
∴x=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象关于点$（\frac{π}{3}+\frac{kπ}{2}，0）$对称．
故④正确，
故答案为：②④

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数的对称性、三角函数的单调性等知识，属于中档题．