Question

【题目】从1~2010中选出总和为1006779的1005个数，且这1005个数中任意两数之和都不等于2011.

（1）证明: 为定值;

（2）当取最小值时，求 中所有小于1005的数之和。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）44253

【解析】

将{1,2,...,2010}分成1005组：

.

因中任两数之和不等于2011，故各组中恰取一数.先在各组中取偶数，组成，其中.

又，

故必有一些偶数被换成同组的奇数.

设组的换数使的增量为，其中,k=1,2,3.则

.

在组中，若将2j换成2011-2j，则；

在组中，若将2012-2j换成2j-1，则

；

且

故

1 由式①知为定值，且

为定值.

2 由式②知，当且仅当取最小值时，取最小值.

首先，求{0,1,...,502}的子集I、J,使得

且

最小，其中，.

设，其中,1≤n≤m≤502.则

由4n-1<4n+1，取m=n.则由式①解得n=354.

下面证明：对任意满足式①的其他子集，有

设

则

注意到，式③中左边的每个数都小于右边的每个数.由调整法易知

故I={1,2,...,354},J={354,355,...,502}.

从而,，当取最小值时，有

{2011-2j|j=149,150,...,502}∪

{2j-1|j=1,2,...,149}∪

{2012-2j|j=150,151,...,503}，

其中，所有小于1005的数之和为.