Question

已知直线l：y=x，圆C₁的圆心为（3，0），且经过（4，1）点．
（1）求圆C₁的方程；
（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l对称，点A、B分别为圆C₁、C₂上任意一点，求|AB|的最小值；
（3）已知直线l上一点M在第一象限，两质点P、Q同时从原点出发，点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，点Q以每秒2个单位沿射线OM方向运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时直线PQ与圆C₁相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆C₁的圆心为（3，0），求得半径，从而求得圆的标准方程．
（2）求出C₂的坐标，可得两圆的圆心距 C₁C₂ 的值，再把两圆的圆心距减去这两个对称圆的半径，即得所求．
（3）设运动时间为t秒，依据题意求得PQ的坐标，可得P、Q的斜率，由点斜式求的PQ的方程．再根据当直线PQ与圆C₁相切时，圆心C₁到直线PQ的距离等于半径，求得t的值．
解答：解：（1）由题意可得，圆C₁的圆心为（3，0），半径为 =，
故圆C₁的方程为 （x-3）²+y²=2．
（2）若圆C₂与圆C₁关于直线l：y=x对称，故C₂的坐标为（0，3），半径为．
两圆的圆心距 C₁C₂==3，故|AB|的最小值为 3-2r=3-2=．
（3）设运动时间为t秒，则由题意可得|OP|=t，|OQ|=2t，则点P（t，0）．
由于点Q在直线l：y=x上，设Q（m，n），m＞0，n＞0，则有 m²+n²=，解得 m=2t，即Q（2t，2t）．
故PQ的斜率为 =2，故PQ的方程为 y-0=2（x-t），即 2x-y-2t=0．
当直线PQ与圆C₁相切时，圆心C₁到直线PQ的距离等于半径，即=，
解得t=3±，故当t=3±时，直线PQ与圆C₁相切．
点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．