题目内容

已知α、β为锐角,
a
=(cosα,sinα),
b
=(cosβ,sinβ),
c
=(
1
2
,-
1
2
),
a
b
=
2
2
a
c
=
3
-1
4
,求角2β-α的值.
分析:根据
a
b
a
c
的值,利用他们的坐标利用两角和公式分别求得cos(α-β)的值和sin(
π
6
-α),进而联立求得α和β,则2β-α的值可得.
解答:解:∵
a
b
=(cosα,sinα)•(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=
2
2
,①
a
c
=(cosα,sinα)•(
1
2
,-
1
2

=
1
2
cosα-
1
2
sinα=
3
-1
4
.②
又∵0<α<
π
2
,0<β<
π
2
,∴-
π
2
<α-β<
π
2

由①得α-β=±
π
4

由②得α=
π
6
.由α、β为锐角,得β=
12

③④
从而2β-α=
2
3
π.
点评:本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值,向量的基本运算.考查了考生综合运用所学知识的能力.
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