题目内容

下列说法中所有正确命题的序号是

①函数y=sin(2x-
π
3
)的周期为π,且图象关于直线x=
π
3
对称;
②设ω>0,将函数f(x)=sin(ωx+3)+1的图象向左平移
3
个单位后与原图象重合,则ω 的最小值是2;
③在△ABC中,A>B是sinA>sinB的即不充分也不必要条件;
④函数y=2tan(
x
2
+
π
4
)的一个对称中心是(
π
2
,0);
⑤如果函数y=sin x+acosx的图象关于直线x=-
π
6
 对称,则a=1.
分析:①函数y=sin(2x-
π
3
)的周期T=π,对称轴方程为x=
2
+
12
,k∈Z;
②根据图象向左平移
3
个单位后与原图象重合,得到
3
是一个周期,写出周期的表示式,解出不等式,得到ω的最小值;
③由正弦定理知
a
sinA
=
b
sinB
=2R,由sinA>sinB,知a>b,所以A>B,反之亦然,故可得结论;
④由y=tanx的对称中心为(
2
,0)(k∈Z),即可作出判断;
⑤利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过x=-
π
6
,函数取得最值,求出a的值即可.
解答:解:①函数y=sin(2x-
π
3
)的周期T=
2
=π,
对称轴方程为:2x-
π
3
=kπ+
π
2
,k∈Z,即x=
2
+
12
,k∈Z,
∴图象不关于直线x=
π
3
对称,故①不成立;
②∵图象向左平
3
个单位后与原图象重合,
3
是一个周期,
ω
=T≤
3

∴ω≤3,所以ω的最小值是3,故②不正确;
③由正弦定理知
a
sinA
=
b
sinB
=2R,
∵sinA>sinB,
∴a>b,
∴A>B.
反之,∵A>B,∴a>b,
∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB,
故在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件,故③不正确;
:∵y=tanx的对称中心为(
2
,0)(k∈Z),
∴由
x
2
+
π
4
=
2
,得:x=kπ-
π
2
,k∈Z.
当k=1时,x=
π
2

故函数y=2tan(
x
2
+
π
4
)的一个对称中心是(
π
2
,0),故④正确;
⑤y=sinx+acosx=
1+a2
sin(x+φ),在对称轴处取得最大值或最小值,
∴sin(-
π
6
)+acos(-
π
6
))=±
1+a2

即-
1
2
+
3
2
a
1+a2

解得a=-
3
,故⑤不成立.
故答案为:④.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,是中档题.解题时要注意三角函数、图象的平移、正弦定理、对称中心、恒等变换等知识点的合理运用.
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