题目内容
下列说法中所有正确命题的序号是
①函数y=sin(2x-
)的周期为π,且图象关于直线x=
对称;
②设ω>0,将函数f(x)=sin(ωx+3)+1的图象向左平移
个单位后与原图象重合,则ω 的最小值是2;
③在△ABC中,A>B是sinA>sinB的即不充分也不必要条件;
④函数y=2tan(
+
)的一个对称中心是(
,0);
⑤如果函数y=sin x+acosx的图象关于直线x=-
对称,则a=1.
④
④
.①函数y=sin(2x-
π |
3 |
π |
3 |
②设ω>0,将函数f(x)=sin(ωx+3)+1的图象向左平移
2π |
3 |
③在△ABC中,A>B是sinA>sinB的即不充分也不必要条件;
④函数y=2tan(
x |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
⑤如果函数y=sin x+acosx的图象关于直线x=-
π |
6 |
分析:①函数y=sin(2x-
)的周期T=π,对称轴方程为x=
+
,k∈Z;
②根据图象向左平移
个单位后与原图象重合,得到
是一个周期,写出周期的表示式,解出不等式,得到ω的最小值;
③由正弦定理知
=
=2R,由sinA>sinB,知a>b,所以A>B,反之亦然,故可得结论;
④由y=tanx的对称中心为(
,0)(k∈Z),即可作出判断;
⑤利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过x=-
,函数取得最值,求出a的值即可.
π |
3 |
kπ |
2 |
5π |
12 |
②根据图象向左平移
2π |
3 |
2π |
3 |
③由正弦定理知
a |
sinA |
b |
sinB |
④由y=tanx的对称中心为(
kπ |
2 |
⑤利用辅助角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式,通过x=-
π |
6 |
解答:解:①函数y=sin(2x-
)的周期T=
=π,
对称轴方程为:2x-
=kπ+
,k∈Z,即x=
+
,k∈Z,
∴图象不关于直线x=
对称,故①不成立;
②∵图象向左平
个单位后与原图象重合,
∴
是一个周期,
∴
=T≤
,
∴ω≤3,所以ω的最小值是3,故②不正确;
③由正弦定理知
=
=2R,
∵sinA>sinB,
∴a>b,
∴A>B.
反之,∵A>B,∴a>b,
∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB,
故在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件,故③不正确;
:∵y=tanx的对称中心为(
,0)(k∈Z),
∴由
+
=
,得:x=kπ-
,k∈Z.
当k=1时,x=
,
故函数y=2tan(
+
)的一个对称中心是(
,0),故④正确;
⑤y=sinx+acosx=
sin(x+φ),在对称轴处取得最大值或最小值,
∴sin(-
)+acos(-
))=±
,
即-
+
a=±
,
解得a=-
,故⑤不成立.
故答案为:④.
π |
3 |
2π |
2 |
对称轴方程为:2x-
π |
3 |
π |
2 |
kπ |
2 |
5π |
12 |
∴图象不关于直线x=
π |
3 |
②∵图象向左平
2π |
3 |
∴
2π |
3 |
∴
2π |
ω |
2π |
3 |
∴ω≤3,所以ω的最小值是3,故②不正确;
③由正弦定理知
a |
sinA |
b |
sinB |
∵sinA>sinB,
∴a>b,
∴A>B.
反之,∵A>B,∴a>b,
∵a=2RsinA,b=2RsinB,∴sinA>sinB,
故在△ABC中,A>B是sinA>sinB的充要条件,故③不正确;
:∵y=tanx的对称中心为(
kπ |
2 |
∴由
x |
2 |
π |
4 |
kπ |
2 |
π |
2 |
当k=1时,x=
π |
2 |
故函数y=2tan(
x |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
⑤y=sinx+acosx=
1+a2 |
∴sin(-
π |
6 |
π |
6 |
1+a2 |
即-
1 |
2 |
| ||
2 |
1+a2 |
解得a=-
3 |
故答案为:④.
点评:本题考查命题的真假判断与应用,是中档题.解题时要注意三角函数、图象的平移、正弦定理、对称中心、恒等变换等知识点的合理运用.
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