题目内容
设函数f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+4x．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
分析：（Ⅰ）先设 x＜0，则-x＞0，利用x≥0时的解析式，根据奇偶性就可求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，利用导数大于0，即可得到结论．
（Ⅱ）求导函数，利用导数大于0，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）=x2-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x2-4x）=-x2+4x
∴f（x）=
；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，f（x）=x2+4x，则f′（x）=2x+4＞0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）=x2-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x2-4x）=-x2+4x
∴f（x）=
|
（Ⅱ）证明：当x＞0时，f（x）=x2+4x，则f′（x）=2x+4＞0
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查利用函数奇偶性求对称区间上的函数解析式，考查函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（ ）
A、-
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| B、0 | ||
C、
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| D、5 |