题目内容

已知函数f(x)的定义域为D,且f(x)同时满足以下条件:

①f(x)在D上单调递增或单调递减;

②存在区间[a,b]D,使得f(x)在[a,b]上的值域是[a,b],那么我们把函数f(x)(x∈D)叫做闭函数.

(1)求闭函数y=-x3符合条件2的区间[a,b].

(2)判断函数y=2x-lgx是不是闭函数?若是,请说明理由,并找出区间[a,b];若不是,请说明理由.

(3)若y=k+是闭函数,求实数k的取值范围.

答案:
解析:

  解:(1)因为y=-x3在R上单调递减,所以区间[a,b]满足 解得 所以[a,b]=[-1,1]

  解:(1)因为y=-x3在R上单调递减,所以区间[a,b]满足解得所以[a,b]=[-1,1].

  (2)取x=0.01,则y=2.02;取x=1,则y=2;取x=10,则y=19.

  所以y=2x-lgx在(0,+∞)上不满足条件(1),即y=2x-lgx不是闭函数.

  (3)因为y=k+在(-2,+∞)上是单调递增的,

  设满足条件(2)的区间为[a,b],则有解.

  即方程k+=x至少有两个不相同的解.

  这等价于方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两个大于等于k的不相同的解.

  所以解得-<k≤-2.所以实数k的取值范围为-<k≤-2.


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