题目内容
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,
、
分别为
、
的中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)求点到平面
的距离.
(1);(2)
.
解析试题分析:(1)本题中取中点
,将会出现许多垂直,这正是我们解题时需要的结果,由于
,则
,由于平面
平面
,则
平面
,
是正三角形,则
,有了这些垂直后,就可以建立空间直角坐标系(以
为原点,
分别为
轴),写出相应点的坐标,计算所需向量的坐标,设
分别是二面角的两个面的法向量,则二面角的余弦值,就等于
(或者其相反数,这要通过图形观察确定);(2)设平面
的法向量是
,则点
以平面
的距离为
.
试题解析:⑴取中点
,连结
?
.∵
,
,
∴,
.∵平面
平面
,
平面平面
,∴
平面
,∴
.
如图所示建立空间直角坐标系,则
,
,
,
∴.
∴.
设为平面
的一个法向量,
则,
取,则
,∴
,
又为平面
的一个法向量,
,即二面角
的余弦值为
.
(2)由⑴得,又
为平面
的一个法向量,
,
∴点到平面
的距离
.
考点:(1)二面角;(2)点到平面的距离.

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