题目内容
已知底面边长为2，侧棱长为
的正四棱锥P-ABCD内接于球O，则球面上A、B两点间的球面距离是（ ）A．arccos
B．
arccos
C．
πD．
π
【答案】分析：设球的半径为R，利用正四棱锥的性质和球的性质，结合勾股定理列方程，解之得球半径，进而求出球心角，利用球面距离公式，可得结论．
解答：
解：设外接球球心为O，正方形ABCD中心为O1，连接VO1，则球心O在VO1上，连接AC、OA、OB
∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=2
，O1A=
AC=
∵VO1⊥平面ABCD，
∴Rt△VO1A中，VO1=
=2
设外接球半径为R，则Rt△OO1A中，OA=R，O1O=2-R
∴R2=（2-R）2+2，解之得：R=
因此，△AOB中，cos∠AOB=
=
故∠AOB=arccos
所以AB两点的球面距离为R×∠AOB=
arccos
故选B．
点评：本题考查球面距离，考查了正四棱锥的性质和球的性质，余弦定理和反三角函数的应用等知识点，属于中档题．
解答：
解：设外接球球心为O，正方形ABCD中心为O1，连接VO1，则球心O在VO1上，连接AC、OA、OB∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=2
，O1A=AC=∵VO1⊥平面ABCD，
∴Rt△VO1A中，VO1=
=2设外接球半径为R，则Rt△OO1A中，OA=R，O1O=2-R
∴R2=（2-R）2+2，解之得：R=
因此，△AOB中，cos∠AOB=
=故∠AOB=arccos
所以AB两点的球面距离为R×∠AOB=
arccos故选B．
点评：本题考查球面距离，考查了正四棱锥的性质和球的性质，余弦定理和反三角函数的应用等知识点，属于中档题．
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（B）
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的正四棱锥P-ABCD内接于球O，则球面上A、B两点间的球面距离是（ ）
arccos
π
π