Question

已知F₁、F₂为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点，第二象限内的点P在椭圆上，以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁．
（I）若a=3，∠F₁PF₂=60°，求圆P的方程；
（II）若|F₁F₂|=4，且圆P与y轴相交，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得：F₁P⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=90°，因为∠F₁PF₂=60°，所以|PF₂|=2|PF₁|．结合椭圆的定义可得所以|PF₂|=4，|PF₁|=2，所以|F₁F₂|=2

3

．进而求出圆的圆心与半径，解决问题．
（II）设点P的坐标为（m，n），根据题意可得m=-2，进而得到点P的纵坐标与圆的半径，因为圆P与y轴相交，所以n=r=

b a2-4

a

＞2．结合a²-b²=c²=4，可得答案．

解答：解：（I）由题意可得：以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁，
所以F₁P⊥F₁F₂，∠PF₁F₂=90°．
因为∠F₁PF₂=60°，
所以|PF₂|=2|PF₁|．
因为|PF₂|+|PF₁|=2a=6，
所以|PF₂|=4，|PF₁|=2，
所以|F₁F₂|=2

3

．
所以点P的横坐标为-

3

，所以其纵坐标为2，圆的半径为2．
所以圆P的方程为）（x+

3

）²+（y-2）²=4．
（II）设点P的坐标为（m，n），
因为以P为圆心的圆与x轴相切于点F₁，并且|F₁F₂|=4，
所以m=-2．
把m=-2代入椭圆方程可得：n=

b a2-4

a

=r，
因为圆P与y轴相交，
所以r=

b a2-4

a

＞2．
又因为a²-b²=c²=4，
所以可得a²-2a-4＞0，解得a＞1+

5

或者a＜1-

5

(舍去)．
所以实数a的取值范围为a＞1+

5

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆与圆的标准方程，以及圆与直线相切时满足的条件，并且结合正确的运算．