题目内容

已知点A（-1，0）、B（1，0），△ABC的周长为2+2 $数学公式$ ．记动点C的轨迹为曲线W．
（1）直接写出W的方程（不写过程）；
（2）经过点（0， $数学公式$ ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，是否存在常数k，使得向量 $数学公式$ + $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
（3）设W的左右焦点分别为F₁、F₂，点R在直线l：x- $数学公式$ y+8=0上．当∠F₁RF₂取最大值时，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）W： $\text{[math]}$ +y²=1（y≠0）．
（2）设直线l的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程，得 $\text{[math]}$ +（kx+ $\text{[math]}$ ）²=1．
整理，得（ $\text{[math]}$ +k²）x²+2 $\text{[math]}$ kx+1=0．①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
△=8k²-4（ $\text{[math]}$ +k²）=4k²-2＞0，解得k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$ ．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，y₁+y₂），
由①得x₁+x₂，=- $\text{[math]}$ ．②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2 $\text{[math]}$ ③
所以 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与向量（-2，1）共线等价于x₁+x₂=- $\text{[math]}$ （y₁+y₂），
将②③代入上式，解得k= $\text{[math]}$ ．
所以不存在常数k，使得向量 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．
直线l与x轴于S（-8，0），∵△F₁SR∽△RSF₂∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用椭圆的定义能够直接写出W的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程，得（ $\text{[math]}$ +k²）x²+2 $\text{[math]}$ kx+1=0．因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以△=8k²-4（ $\text{[math]}$ +k²）=4k²-2＞0，解得k＜- $\text{[math]}$ 或k＞ $\text{[math]}$ ．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（x₁+x₂，y₁+y₂），x₁+x₂，=- $\text{[math]}$ ．y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与向量（-2，1）共线等价于x₁+x₂=- $\text{[math]}$ （y₁+y₂），由此能够推导出不存在常数k，使得向量 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线．
（3）当∠F₁RF₂取最大值时，过R、F₁、F₂的圆的圆心角最大，故其半径最小，与直线l相切．由此能求出当∠F₁RF₂取最大值时，求 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．