Question

已知函数f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a=3时，求f（x）的极值；
（3）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）欲求在点（0，f（0））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案；
（3）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，再讨论导数的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．

解答：解：（1）当a=2时，f(x)=2ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

2

x +1

-

1

(x-1) 2

，
因此f′（0）=1．即曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1．
又f（0）=-1，（4分）
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y-1=0．
（2）因为 f(x)=3ln(x+1)+

1

x-1

，x＞-1且x≠1．
所以 f′(x)=

3

x +1

-

1

(x-1) 2

=

3x2-7x+2

(x+1)(x-1) 2

，
令f'（x）＞0⇒-1＜x＜

1

3

，或x＞2，令f'（x）＜0⇒

1

3

＜x＜2
故f（x）的单调递增区间为（-1，

1

3

），（2，+∞）
f（x）的单调递减区间为（

1

3

，2）
f（x）的极大值为f（

1

3

）=3ln

4

3

-

3

2

；
f（x）的极小值为f（2）=3ln3+

1

2

；
（3）∵f(x)=aln(x+1)+

1

x-1

∴f′(x)=

a

x +1

-

1

(x-1) 2

=

a(x-1)2-x-1

(x+1)(x-1) 2

令g（x）=a（x-1）²-x-1，x＞-1且x≠1
①当a=0时，g（x）=-x-1，
x∈（-1，+∞）时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．（9分）
②当 0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0即解得x₁=1，x2=

1

a

-1，此时

1

a

-1＞1＞0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（10分） x∈(1，

1

a

-1)时，g（x）＜0，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；（11分） x∈(

1

a

-1，+∞)时，，此时，函数f（x）单调递减．（12分）
综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当 0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在 (1，

1

a

-1)上单调递增；
在 (

1

a

-1，  +∞)上单调递减．（13分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．