Question

对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②通径为8；
③过焦点的直线与抛物线交于两点的横坐标之积为4；
④抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为6；
能满足抛物线y²=8x的条件是

②③

 （填序号）

Answer 1

分析：由抛物线的定义与标准方程，分别设出各种情况下抛物线的标准方程y²=2px，根据题意建立关系式并解之，得p的值，从而可得抛物线的方程．由此方法，可得②③是符合题意的答案，而①④不符合题意．

解答：解：对于①，当抛物线焦点在y轴上时，方程形式是x²=2py或x²=-2py的形式，不可能是y²=8x，故①不正确；
对于②，过抛物线y²=2px的焦点F（

p

2

，0）且与x轴垂直的直线，交抛物线于A（

p

2

，y₁），B（

p

2

，y₂）
由y²=2p×

p

2

=p²，得|y₁-y₂|=2p=8，即抛物线的通径恰好为8，故抛物线y²=8x，符合题意，②正确；
对于③，设过抛物线y²=2px的焦点F（

p

2

，0）的直线方程为y=k（x-

p

2

）
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

消去y，得k²x²-（2+k²）px+

1

4

k²p²=0
设交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁•x₂=

1

4

p²=4，解之得p=4
∴2p=8，得抛物线方程为y²=8x，符合题意，③正确；
对于④，设抛物线方程为y²=2px，点P（2，y₀）到焦点有距离等于6，
根据抛物线的定义得2+

p

2

=6，得p=8，得抛物线方程为y²=16x，不符合题意，故④不正确．
故答案为：②③

点评：本题给出几个条件，求能使抛物线方程为y²=8x的条件，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．