Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=

1

2

，则下列结论中错误的是（　　）

• A、AC⊥BE
• B、EF∥平面ABCD
• C、三棱锥A-BEF的体积为定值
• D、△AEF的面积与△BEF的面积相等

Answer 1

分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；
B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；
C．三棱锥A-BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；
D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．

解答：解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不是正确选项；
B．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；
C．三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；
D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．
综上应选D
故选D

点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．