题目内容
如图所示,在矩形ABCD中,AB=a,BC=a,以对角线AC为折线将直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置(B点与P点重合),P点在平面ACD上的射影恰好落在边AD上的H处.
(1)求证:PA⊥CD;
(2)求直线PC与平面ACD所成角的正切值.
(1)详见解析,(2).
解析试题分析:(1)折叠问题,首先要明确折叠前后量的变化,尤其是垂直条件的变化,本题要证明线线垂直,首先找线面垂直,因为关于垂直条件较多,所以考虑证明
面
,折叠前后都有条件
,而折叠后
面
,因此可由线面垂直得到
,这样就可由线面垂直判定定理证到
面
,(2)求线面角,关键作出面的垂线.本题简单,因为
面
,所以直线PC与平面ACD所成角就为
,下面只需在直角三角形中解出
的正切值就可.
试题解析:(1) 证明: 由题设,平面ACD,
平面PAD
平面ACD, 3分
交线为AD,又CDAD,
CD
平面PAD,PA
平面PAD,
CD
PA 6分
(2)连接CH,则PCH为直线PC与平面ACD所成的角。
作HGAC,垂足为G,连接PG,则AC
平面PHG
AC
PG, 9分
又在矩形ABCD中,AB=a,BC=a,
在直角PGA中,PA=a,
AG=
在直角HAG中,AH=
=
,又AC="2a," 2分
在直角CAH中,根据余弦定理可得,CH=
,
在直角 PHA中可得PH=
,
tan
13分
考点:线面垂直判定,

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