Question

2．在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A（0，2），B（-1，0），D（t，0）（t＞0）三点．
（1）若t=$\frac{2}{3}$，求圆C在点D处的切线方程；
（2）若t=4时，在x轴上存在点E（异于点O）满足：对于圆C上任意一点P，都有$\frac{PE}{PO}$为一常数，试求所有满足条件的点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求出圆的方程，再求圆C在点D处的切线方程；
（2）利用待定系数法，求出圆的方程，假设存在E（a，0）满足题意，利用特殊点求出结论，再进行验证即可即可．

解答 解：（1）设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆经过三个点A（0，2），B（-1，0），D（$\frac{2}{3}$，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{1-D+F=0}\\{\frac{4}{9}+\frac{2}{3}D+F=0}\end{array}\right.$，解得D=$\frac{1}{3}$，E=-$\frac{5}{3}$，F=-$\frac{2}{3}$，
即圆的方程为x²+y²+$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$y-$\frac{2}{3}$=0，
∴C（-$\frac{1}{6}$，$\frac{5}{6}$），
∴k_CD=-1，
∴圆C在点D处的切线方程y=x-$\frac{2}{3}$．
（2）设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圆经过三个点A（0，2），B（-1，0），D（4，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2E+F=0}\\{1-D+F=0}\\{16+4D+F=0}\end{array}\right.$解得D=-3，E=0，F=-4，
即圆的方程为x²+y²-3x-4=0，
假设存在E（a，0）（a≠0）满足题意，
当取P（-1，0）时，$\frac{PE}{PO}$=|a+1|；当取P（4，0）时，$\frac{PE}{PO}$=$\frac{|a-4|}{4}$；
∴|a+1|=$\frac{|a-4|}{4}$，解得a=-$\frac{8}{3}$．
可得$\frac{PE}{PO}$=$\frac{5}{3}$．E（-$\frac{8}{3}$，0）．
设P（x，y），假设$\frac{PE}{PO}$=$\frac{\sqrt{（x+\frac{8}{3}）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{5}{3}$，
化为x²+y²-3x-4=0．
因此点P在圆C上，满足题意．
因此在x轴上存在点E（-$\frac{8}{3}$，0），使得对圆C上的任意一点P，$\frac{PE}{PO}$=$\frac{5}{3}$为同一常数．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、圆的点满足特殊性质，考查了取特殊点探究一般性规律的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．