Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（x+y），当x＜0时f（x）＜0，f（1）=2；
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]的最值；
（3）当t＞2时，f（klog₂t）+f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，即可证明函数的奇偶性；
（2）先证明f（x）为R上的减函数，再求f（x）在[-3，3]的最值；
（3）分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．

解答：（1）证明：令x=y=0，可得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数；
（2）解：令x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时f（x）＜0，∴f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）为R上的减函数
∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（1）=4，f（3）=f（2）+f（1）=6，
∴f（-3）=-f（3）=-6
∴在[-3，3]上f（x）_max=6，f（x）_min=-6；
（3）解：t＞2时，f（klog₂t）+f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜0恒成立，即f（log2t-lo

g

2 2

-2）＜f（-klog₂t）恒成立，
∴t＞2时，log2t-lo

g

2 2

-2＞-klog₂t恒成立，
∴t＞2时，1+k＞

3

log2t

恒成立，
∴k＞2．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查函数的值域，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．