Question

已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=2lg（2x+t）（t∈R是参数）
（1）当t=-1时，解不等式f（x）≤g（x）．
（2）如果x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求参数t的范围．

Answer 1

分析：（1）把t=-1代入g（x）中，由对数定义得到真数大于0且f（x）≤g（x），联立组成不等式组，求出解集即可；
（2）f（x）≤g（x）恒成立等价于x∈[0，1]时，有

x+1＞0 2x+t＞0 x+1≤(2x+t)2

即

x+1＞0 t＞-2x t≥-2x+ x+1

恒成立，解出t要大于一个函数的最大值即可得到t的范围．

解答：解：（1）原不等式等价于

x+1＞0 2x-1＞0 x+1≤(2x-1)2

即

x＞ 1 2 4x2-5x≥0

，即

x＞ 1 2 x≤0或x≥ 5 4

∴x≥

5

4

，所以原不等式的解集为{x|x≥

5

4

}
（2）由题意可知x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立等价于x∈[0，1]时，有

x+1＞0 2x+t＞0 x+1≤(2x+t)2

即

x+1＞0 t＞-2x t≥-2x+ x+1

恒成立
故x∈[0，1]时，t≥-2x+

x+1

恒成立，于是问题转化为求函数y=-2x+

x+1

x∈[0，1]的最大值，令μ=

x+1

，则x=μ²-1，μ∈[1，

2

]．
而y=-2x+

x+1

=-2(μ-

1

4

)2+

17

8

在[1，

2

]上是减函数，
故当μ=1即x=0时，-2x+

x+1

有最大值1，所以t的取值范围是t≥1．

点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，掌握对数函数定义域的能力，会求二次函数最值的能力．