题目内容
【题目】设各项均为正数的数列的前n项和为
,满足
,且
,公比大于1的等比数列
满足
,
.
(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式;
(2)若,求数列
的前n项和
;
(3)在(2)的条件下,若对一切正整数n恒成立,求实数t的取值范围.
【答案】(1)证明见解析, ;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:
(1)结合函数的递推公式可证得数列是首先为1,公差为2的等差数列,其通项公式为
;
(2)错位相减可得数列的前n项和为;
(3)由题意可得数列单调递减,据此得到关于实数t的不等式,求解不等式可得实数t的取值范围是
.
试题解析:
(1) 当时,
,
,
,所以
,
.
因为当时,
是公差
的等差数列,
,
,
则是首项
,公差
的等差数列,
所以数列的通项公式为
.
(2)由题意得,
;
则前n项和;
;
相减可得
;
化简可得前n项和;
(3)对一切正整数n恒成立,
由,
可得数列单调递减,即有最大值为
,
则 解得
或
.
即实数t的取值范围为.
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