题目内容
“-1＜a＜1”是“函数f（x）=x3-3x在区间（a-2，a）上有最大值”的（ ）
分析：利用导数求出函数f（x）=x3-3x在区间（a-2，a）上有最大值的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答：解：函数f（x）=x3-3x的导数为f'（x）=3x2-3=3（x2-1），
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
所以当x=-1时，函数取得极大值，此时极大值为f（-1）=-1+3=2．
当x=1时，函数取得极小值．
当f（x）=2时，由x3-3x=2，即x3-3x-2=0，解得x=2或x=-1，
要使函数f（x）在开区间内存在最大值，
则满足
，即
，解得-1＜a＜1．
故“-1＜a＜1”是“函数f（x）=x3-3x在区间（a-2，a）上有最大值”的充要条件．
故选C．
由f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1，此时函数单调递增．
由f'（x）＜0，得-1＜x＜1，此时函数单调递减．
所以当x=-1时，函数取得极大值，此时极大值为f（-1）=-1+3=2．
当x=1时，函数取得极小值．
当f（x）=2时，由x3-3x=2，即x3-3x-2=0，解得x=2或x=-1，
要使函数f（x）在开区间内存在最大值，
则满足
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故“-1＜a＜1”是“函数f（x）=x3-3x在区间（a-2，a）上有最大值”的充要条件．
故选C．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，利用导数求出函数的极值，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强．
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