Question

16．已知函数f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、二倍角公式求得函数f（x）=sin2x，再利用正弦函数的周期性，求得f（x）的最小正周期．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=2sinxsin（$\frac{π}{2}$+x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，可得当2x∈[-$\frac{π}{3}$，π]，∴当2x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当2x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1．

点评 本题主要考查二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．