Question

如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F．
（1）求证：PB⊥平面AFE；
（2）若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P、A、B、C都在此球面上）的体积之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中PA⊥面ABC，AB是圆O的直径，可得BC⊥PA，BC⊥AC，则BC⊥面PAC，根据线面垂直的性质可得AF⊥BC，结合AF⊥PC可得AF⊥面PBC，再由线面垂直的性质可得PB⊥AF，结合PB⊥AE，由线面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）V_C-PAB=V_P-ABC，计算出三角形ABC的面积及高代入棱锥体积公式，即可得到答案，取PB的中点M，根据直角三角形的性质，可得M为三棱锥外接球的球心，求出球半径，代入球的体积公式，即可求出答案．
解答：证明：（1）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥PA，又AB是圆O的直径，∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC，又因AF?面PAC，
所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，
所以AF⊥面PBC，又因PB?面PBC，
所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE．（5分）
（2），
取PB的中点M，由直角三角形性质得，PM=AM=BM=CM，故三棱锥的外接球球心为M，
其半径为，所以，体积之比为．（10分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，球内接多面体，棱锥的体积和球的体积，其中（1）的关键是熟练掌握线线垂直与线面垂直之间的转化，（2）的关键是求出球的半径．