题目内容
已知双曲线C的方程为,离心率
,顶点到渐近线的距离为
。
(I)求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,若,求
面积的取值范围。
(Ⅰ) (Ⅱ)△AOB面积的取值范围是
解析:
(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点到渐近线
∴
由 得
∴双曲线C的方程为
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为
设
由得P点的坐标为
将P点坐标代入化简得
设∠AOB
又
记
由
当时,△AOB的面积取得最小值2,当
时,△AOB的面积取得最大值
∴△AOB面积的取值范围是
解答二(Ⅰ)同解答一
(Ⅱ)设直线AB的方程为由题意知
由{ 得A点的坐标为
由{ 得B点的坐标为
由得P点的坐标为
将P点坐标代入
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m).
=以下同解答一.
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