Question

已知函数f（x）=

ax

1+x2

（a≠0）．
（1）判断并证明函数的奇偶性； 
（2）当a=1时，用定义证明函数在[-1，1]上是增函数；
（3）求函数在，[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）利用f（-x）=

-ax

1+(-x)2

=-

ax

1+x2

=-f（x）可证f（x）在R上为奇函数；
（2）任取-1≤x₁＜x₂≤1则f（x₁）-f（x₂）=

(1-x1x2)(x1-x2)

(1+x22)(1+x12)

＜0，从而可证f（x）在[-1，1]上为增函数；
（3）由①当a＞0时，f（x）在[-1，1]上为增函数，可求其最值；②当a＜0时，f（x）在[-1，1]上为减函数，可求其最值．

解答：证明：（1）由题意，函数f（x）的定义域为R，
对任意x∈R都有f（-x）=

-ax

1+(-x)2

=-

ax

1+x2

=-f（x），
故f（x）在R上为奇函数；
（2）任取-1≤x₁＜x₂≤1则f（x₁）-f（x₂）=

(1-x1x2)(x1-x2)

(1+x22)(1+x12)

∵-1≤x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在[-1，1]上为增函数；
（3）由（1）（2）可知：
①当a＞0时，f（x）在[-1，1]上为增函数，故f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=

a

2

，最小值为f（-1）=-

a

2

，
②当a＜0时，f（x）在[-1，1]上为减函数，故f（x）在[-1，1]上的最大值为f（-1）=-

a

2

，最小值为f（1）=

a

2

，

点评：本题考查函数奇偶性与单调性的判断与证明，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，考查化归思想与分类讨论思想的运用，属于难题．