题目内容
已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值- (t>0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用t表示an和bn;
(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn.
(1) f(x)=x2-(t+2)x+t+1, (2) an=[(t+1)n+1-1],bn=[1-(t+1n), (3) rn=, Sn=π(r12+r22+…+rn2)=[(t+1)2n-1]
解析:
(1)设f(x)=a(x-)2-,由f(1)=0得a=1.
∴f(x)=x2-(t+2)x+t+1.
(2)将f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得:
(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,
上式对任意的x∈R都成立,
取x=1和x=t+1分别代入上式得
且t≠0,
解得an=[(t+1)n+1-1],bn=[1-(t+1n)
(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,
又由(2)知an+bn=1,故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上,
又圆Cn与圆Cn+1相切,故有rn+rn+1=|an+1-an|=(t+1)n+1
设{rn}的公比为q,则
②÷①得q==t+1,代入①得rn=
∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=[(t+1)2n-1].
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