Question

19．已知点A（-6，0）和圆x²+y²=36，AB是该圆的直径，M，N是AB的三等分点，设点P（异于A，B）是该圆上的动点，PD⊥AB于D，且$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$（λ＞0），直线PA与BE交于C．
（1）当|CM|+|CN|为定值时，求λ的值；
（2）在（1）的条件下，过点N的直线l与圆x²+y²=36交于G、H两点，l与点C的轨迹交于P，Q两点，且|GH|∈[8$\sqrt{2}$，2$\sqrt{34}$]，求椭圆的弦RQ长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令P（6cosθ，6sinθ），由$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$（λ＞0），可得E坐标，进一步用θ表示直线BE，AP的方程，由|CM|+|CN|为定值，得到所求；
（2）由（1）可知椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，不妨设N（2，0），分直线l的斜率垂直与否讨论，求焦点弦长度范围．

解答 解：（1）令P（6cosθ，6sinθ），由$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{ED}$（λ＞0），可得E（6cosθ，$\frac{6sinθ}{1+λ}$），
直线BE：y=$\frac{sinθ}{（cosθ-1）（λ+1）}（x-6）$①
直线AP：y=$\frac{sinθ}{cosθ+1}（x+6）$②，
由①得$\frac{（λ+1）y}{x-6}=\frac{sinθ}{cosθ-1}$③
联立②③得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y}{x+6}=\frac{sinθ}{cosθ+1}}\\{\frac{（λ+1）y}{x-6}=\frac{sinθ}{cosθ-1}}\end{array}\right.$，两式相乘得$\frac{{y}^{2}（λ+1）}{{x}^{2}-36}$=-1，即$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{\frac{36}{λ+1}}=1$，
当|CM|+|CN|为定值时，可知上式是以M，N为焦点的椭圆方程，故焦距为2c=4，c=2，
所以36-$\frac{36}{λ+1}={c}^{2}=4$，解得λ=$\frac{1}{8}$；
（2）由（1）可知椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，不妨设N（2，0），
①当直线斜率不存在时，|GH|=8$\sqrt{2}$，符号题意，此时|RQ|=$\frac{32}{3}$；
②当直线斜率存在时，令直线l：y=k（x-2），
圆心O（0，0）到直线l距离为：d=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，在圆x²+y²=36中，d²=36-$\frac{|GH{|}^{2}}{4}$，
由|GH|∈[8$\sqrt{2}$，2$\sqrt{34}$]，可得2≤d²≤4，即2≤$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$≤4，则k²≥1，
设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{32}=1}\end{array}\right.$，所以（9k²+8）x²-36k²x+36k²-288=0，所以${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{36{k}^{2}}{9{k}^{2}+8}$，
由焦点弦长公式得到|RQ|=2a-e（x₁+x₂）=12-$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{2}+8}$，由k²≥1，得到$\frac{32}{3}＜|RQ|≤\frac{192}{17}$．
所以椭圆的弦RQ长的取值范围为$\frac{32}{3}≤|RQ|≤\frac{192}{17}$．

点评 本题考查了椭圆方程的运用以及直线与椭圆相交，焦点弦长问题，属于难题．