Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，则棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（Ⅰ）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求二面角C₁-DE-C的大小；
（Ⅲ）在侧棱BB₁上是否存在点P，使得CP⊥平面C₁DE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO，要证BD₁∥平面C₁DE，直线证明BD₁平行平面C₁DE内的直线EO即可；
（II）过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H，说明∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角，然后求二面角C₁-DE-C的大小；
（III）用反证法证明在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE，推出矛盾即可．

解答：解：（I）证明：连接CD₁，与C₁D相交于O，连接EO．
∵CDD₁C₁是矩形，
∴O是CD₁的中点，
又E是BC的中点，
∴EO∥BD₁．（2分）
又BD₁?平面C₁DE，EO?平面C₁DE，
∴BD₁∥平面C₁DE．（4分）

（II）解：过点C作CH⊥DE于H，连接C₁H．
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，
∴C₁H⊥DE，
∠C₁HC是二面角C₁-DE-C的平面角．（7分）
根据平面几何知识，易得H（0.8，1.6，0）
．∴

HC

=(-0.8，0.4，0)，

HC1

=(-0.8，0.4，3)，
∵cosC1HC=COS＜

HC

，

HC1

＞=

HC • HC1

| HC |•| HC1 |

=

2

7

（9分）
∴∠C1HC=arccos

2

7

，
∴二面角C₁-DE-C的大小为ArCCOs

2

7

．（10分）

（III）解：在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE（11分）
证明如下：
假设CP⊥平面C₁DE，则必有CP⊥DE．
设P（2，2，a），其中0≤a≤3，
则

CP

=(2，0，a)，

DE

=(1，2，0)，
∵

CP

•

DE

=2≠0，这显然与CP⊥DE矛盾．
∴假设CP⊥平面C₁DE不成立，
即在侧棱BB₁上不存在点P，使得CP⊥平面C₁DE．（14分）

点评：本题考查直线与平面的存在，二面角的求法等知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．