Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，DE=2AB=2，且F是CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE； 
（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE； 
（Ⅲ）设AC=2m，当m为何值时？使得平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°．

Answer 1

分析：（I）取CE中点P，连接FP、BP，易知FP∥DE，且FP=

1

2

DE．AB∥DE，且AB=

1

2

DE．可知ABPF为平行四边形，得到AF∥BP，由线面平行的判定定理得AF∥平面BCE．
（II）先证AF⊥平面CDE．又BP∥AF，得到BP⊥平面CDE，再由面面垂直的判定定理得到平面BCE⊥平面CDE；
（Ⅲ）△ACD是△CBE在平面中的射影，由于S△CBE=m

3(1+m2)

，平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°
故可求得m的值．

解答：解：（I）取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．（2分）
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，
∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）∵△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD．
∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF?平面ACD，
∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE．
又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．
又∵BP?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE．
（Ⅲ） 由题意可知，△CBE中，CB=EB=

1+4m2

，CE=

1+m2

，
∴S△CBE=m

3(1+m2)

∵平面BCE与平面ACD所成的二面角的大小为45°
∴cos45°=

3 m

m 3(1+m2)

=

2

2

∴m=1

点评：本题以线面垂直为载体，主要考查平面图形中的线线关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查面面角，考查运算能力和推理论证能力．