Question

已知函数f（x）=a^x+b，（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）的图象如图（1）所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的图象如图（2）所示，求a，b的取值范围．
（3）在（1）中，若|f（x）|=m有且仅有一个实数解，求出m的范围．

Answer 1

解：（1）f（x）的图象过点（2，0），（0，-2），
所以，
解得； …（4分）
（2）f（x）单调递减，所以0＜a＜1，又f（0）＜0，
即a⁰+b＜0，所以b＜-1． …（9分）
（3）由（1）得：函数f（x）=（）^x-3，
在同一个坐标系中，画出函数y=|f（x）|和y=m的图象，
观察图象可知，当m=0或m≥3时，两图象有一个交点，
若|f（x）|=m有且仅有一个实数解，m的范围是：m=0或m≥3…（14分）
分析：（1）由图象知，f（0）=-2，f（2）=0 解方程组求出a 和 b的值．
（2）f（x）单调递减，结合指数函数的性质得出0＜a＜1，又f（0）＜0，从而求出b的取值范围．
（3）由（1）得：函数f（x）=（）^x-3，在同一个坐标系中，画出函数y=|f（x）|和y=m的图象，观察图象可知，当m=0或m≥3时，两图象有一个交点，从而得出m的范围．
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式，体现了数形结合的数学思想．解答的关键是利用待定系数法列出方程或不等式求得a，b的值或范围．